中國數學史簡說 1
啟蒙期的中國數學（漢以前）一般認定，《周髀算經》是中國現存最早的一部數學典籍，成書時間大約在兩漢之間 (紀元之後)。也有史家認為它的出現更早，是孕於周而成於西漢，甚至更有人說它出現在紀元前1000年。嚴格說來，《周髀算經》是一部天文著作，為討論天文曆法，而敘述一些有關的數學知識，其中重要的題材有勾股定理、比例測量與計算天體方位所不能避免的分數四則運算。例如《周髀算經》認為一年有 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_03_3_06/img1.gif 日而平均有 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_03_3_06/img2.gif 個月，亦即每 19 年應有 7 個閏月，這樣每個月的日數應該是
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但月亮每日所行平均度數為 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_03_3_06/img4.gif 度（一周以 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_03_3_06/img1.gif 度計算，這點有別於西方數學所採用的 360 度），要求 12 個月以後月亮所在的方位。那麼其問題便在於計算
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將其餘數 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_03_3_06/img6.gif 再乘以 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_03_3_06/img1.gif，便知所求方位為 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_03_3_06/img7.gif。
通過算籌，中國人很早就掌握了複雜的計算。比起同時期的西方數學（例如以歐幾里得的《幾何原本》所記載的分數性質來看），古代中國數學的定量工作，無疑是遙遙領前的。 稍後出現的《九章算術》（東漢中期，不遲於公元100年）才真正是第一部把古代中國數學已有的知識加以總結的書籍。 《九章算術》的內容實已相當完備，收錄有 246 個題目，分「方田」、「粟米」、「衰分」、「少廣」、「商功」、「均輸」、「盈不足」、「方程」、「勾股」等九章編成。為代數方法與轉化方法提供了初步的基礎。 (i)在代數方法上面，可列為其算術基礎的有 正負數的四則運算(「方程」) 通分、分數四則(「方田」) 比例(「粟米」、「衰分」、「均輸」) 一次不定方程(「盈不足」) 開平方、開立方 (「少廣」) 可當作「未知數原理」的雛形的有 聯立一次方程，即高斯消元法 (「方程」中所謂的方程術 ) 一元二次方程的數值解法 (「勾股」中的帶從開方法，將有一次項的二次方程化為「少廣」中的開平方法解之)
(ii)在轉化方法上面
關聯 「形」與 「量」的有 面積計算(「方團」，限於直線與圓成的圖形，如三角形、梯形．圓形、弓形、環形等) 體積計算(「商功」，各種由平面圍成的圖形，及圓柱、圓臺及球體積的粗略估計) 勾股定理及相似直角三角形的運用(「勾股」) 發展期的中國數學 (魏晉到隋唐)東漢《九章算術》出現以後，注釋與修正的工作不停的發展。 魏晉趙爽作《勾股方圓圖注》，利用勾股定理，完成一般一元二次方程 (首項係數可以為負，即呈 0$" align=middle src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_03_3_06/img8.gif" width=182 height=33>的式子)的公式解，他的方法基本上是幾何解法。 三國時代，劉徽注《九章算術》 (263年)。《九章算術》中取圓周率為3， 劉徽提出「割圓術」，計算正192邊形的面積，求得3.141的三位小數近似值。 其後南北朝祖沖之(429-500)更把這結果向前推進，在《綴術》一書中， 找到3.1415926的密率。《綴術》已失傳，祖沖之的工作載於《隋書律曆志》中， 原文記錄這段陸續修正的工作說:「圓周率三，圓徑率一，其術疏舛。 自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒各設新率， 未臻折衷。」「祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈， 圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽， 朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間」，這就是說
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又說「密率，圓徑一百十三，圓周三百五十五;約率，圓徑七，周二十二」意即 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_03_3_06/img10.gif與http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_03_3_06/img11.gif是π近似的分數表示，前者比後者精密些。
當然社會本身的發展也產生新的問題。例如為使曆法進一步精密， 隋劉焯(544-610)開始引入二次內插法， 與垛積級數問題關聯起來。為符合計算的進一步需要，籌算制度也在改良(《夏侯陽算經》)。而工程分配上面也出現了三次方程的問題， 唐王孝通 (626年)《輯古算經》中記載了複雜的三次方程的題目，並將「帶從開(平)方法」推廣為「帶從開立方」， 有效地解決了係數皆正的三次方程的數值求解問題。關於整數論的一些初級問題如「鬼谷算」 (《孫子算經》)，「百難問題」 (《 張丘建算經 》)及「幻方」(即魔方陣，見於《 數術記遺》)也紛紛出現。 如果將《九章算術》的內容當作中國數學的雛型，那麼自東漢到隋唐 (即公元第二世紀到第十世紀)，可稱為它的發展期，隋唐以後漸臻成熟。到十三世紀南宋及元初，才進入中國數學的黃金時代。現在先將發展期的幾項主要成就及著作羅列於后: (i)在代數方法上面， 有關「未知數原理」的基礎的有 一般一元二次方程的公式解(魏晉趙爽《勾股方圓圖注》，公元三、四世紀)
三次方程的數值解法(係數與根皆正數，利用帶從開立方，唐王孝通《輯古算經》，公元626年)
而屬於算術發展部分的有 孫子問題(又名鬼谷算或韓信點兵，原為曆法上推求「日月合璧、 五星連珠」的上元積年而作，載於《孫子算經》的已有一些簡易 一次不定方程的有關問題。一般理論要到宋代秦九韶作「大衍求一術」時， 才漸成形。) 百雞問題(求三元一次聯立不定方程的整數解，載於《張丘建算經》)。
(ii)在轉化方法上面， 進一步關聯「形」與「量」的個別結果的有 圓周率的計算(劉徽注《九章》，增列「割圓術」(263年)，得圓周率3.141。 祖沖之(429 -500)作《綴術》，推進到3.1415926 1)
面積、體積的進一步計算( 劉徽以拼湊法證得方臺體積為 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_03_3_06/img13.gif，其中a,b分別為上底、 下底兩正方形的邊長2 。祖沖之更求得球體積為 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_03_3_06/img14.gif )
(iii)在局部化法上面 已具有「變量數學」的雛型的有 二次內插公式(隋唐時期，因為要計算日月五星的方位，通過隋劉焯( 544 -610)中唐 一行和尚 (683-?)到晚唐徐昂等人一系列的工作，求得與十七世紀牛頓的二階差公式相當 的二次內插公式) 而確含局部化意義的有 Cavalieri原理(祖沖之在求球體積時已提出Cavalieri原理，計算牟合方蓋，比Cavalieri (1598 - 1647)早了一千年， 祖沖之與Cavalieri都限於沒有完好的微積分而沒有給出證明。)
著作方面，唐朝《新唐書藝文志》中收錄的《十部算經》(李淳風注)很 能夠反應發展期的數學水準。《十部算經》除收集早期的《周髀》《九章》之外還包羅了 《海島算經》(劉徽，263年)
《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》(皆為第三、四世紀之作，但夏侯陽現傳本則迭經增補，搜集的材料包含到第八世紀的有關內容)
《五曹算術》、《五經算術》(《五曹》為官吏手卌，《五經》則傾向玄學，無甚內容)
《輯古算經》(唐、王孝通，626年稍后定成)
另外亦含第五世紀祖沖之所作《綴術》，惜已失傳。十三世紀宋朝再刻《十部算經》時，便以《數術記遺》代之，成為現存的《算經十書》。 黃金時期(十二、三世紀的宋元數學)宋元兩代，中國數學進入了黃金時期，尤其來到十三世紀，成就更趨輝煌。不只相對於中國本身古來的數學，得到空前的發展，放眼於當時阿拉伯、印度及歐洲各地的數學水準，也是處於遙遙領先的地位。
宋元黃金時期的數學家，一般以南方的秦九韶、楊輝， 北方的李治、朱世傑為代表，合稱秦、李、楊、朱四家。事實上，四家之前有北宋支持王安石變法的沈括(1031-95)。沈括晚年著有《夢溪筆談》，討論「隙積術」， 開創了高階等差級數的研究。又有楚衍(與沈括約同時代在司天監工作) 的學生賈憲，作「增乘開方法」引進隨乘隨加的方法，開平方開立方法。由於隨乘隨加的方法 暗含著二項式定理的係數分配，這種開方法馬上可以推廣到高次開方,為其後不久劉益 ，秦九韶作一般高次方程的數值解法舖路。在西方，高次方程的數值解法要延到十九世紀 才由 Ruffini(1804)與Horner(1819)具體提出，西方數學慣稱為Horner method(霍納方法)。 四家之後，還有王恂，郭守敬，在編《授時曆》時引入求解球面直角三角形的方法。
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