機率 1
機率論的一個發源地是記述統計學；明瞭記述統計學的概念，對於機率論的學習，大有助益！ http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img1.gif1. 假設我擔任一班數學課；共有50位學生，現在考慮某次月考的成績；我們用 xn 代表第 n 號學生的成績。所以就有一堆數據：x1, x2, x3,…,xN，（此地 N=50）。我們用 X 來代表這個統計數據。所以，事實上 X 是映射： http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img2.gif， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img3.gif，… …；不是集合 {x1,x2,…,xN}； ──例如，這集合的元素個數可以小於 N，而且，若是看成集合，則 「1 號得 70 分，2 號得 81 分」 與 「2 號得 70 分，1 號得 81 分」 並無區別；但是，就學生的立場，這當然有區別，對於老師，區別就不大！倒是有幾個人 81 分，幾個人 70 分，還有點區別！ 還有，要記住的一點是：X 的定義域，此地是 1 到 50 之自然數，這不太重要。 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img1.gif2. 記述統計學的最初的問題，可以很具體地這樣子來說明。如果校長問我：「他們這次月考考得怎麼樣？」，我該怎麼報告？ 對於學生的家長，我要答以他子女的成績就好了；對於校長，一個個學生的成績他卻不會耐煩聽；他要知道最重要卻也最起碼的兩件事：甲、大體如何？乙、是否參差不大？（也許該考慮「能力分班」？……）。 校長不一定滿意於一個籠統的，（定性的）說法，如「大體很好，參差不大」，他要一個更精確的，（定量的）說法；於是，我要給他兩個數字：甲、代表值 1 。乙、參差度 2 。 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img1.gif3. 我先強調兩點： 一、通常人只想到甲，那太粗魯了！顯然乙也很重要。 二、統計數據本身才是完整的資料；（古典的）記述統計就是需要 X 這麼完整的資料，而（近代的）統計並不肯花精力得到它。（通常是做不到，太貴了。）無論如何，從 X 變成兩個數值，顯然是資訊 (information) 的大大濃縮（或損失）。對於某些事或某些人（如校長），這剩下的資訊就很夠用了。對某些事，這卻不夠。 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img1.gif4. 如何取代表值 α，及參差度 β？ 通常採用http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img4.gif
的制度，於是，對於校長的報告，就是「本班本次月考成績為 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img5.gif」。
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我必須再強調這一點：採用這種「http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img8.gif」制，是最常見的，（甚或是最方便的）制度。但是它一點兒也不是唯一的制度。事實上這情形有一點兒像橋牌的叫牌制度：你可以隨便發明一套，只要說清楚你的制度。 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img1.gif5. 在計算和式中，我們當然可以聰明一點，不必 x1 + x2 + x3 + http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img9.gif（慢慢加），而可以採用（Lebesgue 式的想法！）
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括弧中的叫做了 X=x 之頻率 (frequency)。它的意義很明白，遠比它的表達式子容易！事實上我們計算 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img11.gif 的機會更多，因此，把頻率用總頻率 N 去除，叫做相對頻率 (relative frequency)，記做 f，則得
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請注意：若 φ 是個 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img13.gif 之函數，用 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img14.gif 代表統計數據
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則 3
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http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img1.gif6. 我們馬上可以導出一個重要的定理，這定理的內涵太容易了，雖然其表達式反倒較煩。所以我們就用「我們班」的例子來說明： 考試成績，當然在 0 與 100 之間： http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img17.gif；（此地上限 100 不重要）。今設平均為 23 分，則全班 50 人中，分數超過 46 分的，一定不到一半（25 人），全班分數超過 69 分的，一定不到 16.66… 人〔故意這麼寫，人數不能有小數！〕，分數超過 92 分的，不到 12.5人……。 這就是著名的（而且也幾乎無聊的，trivial）Markov 不等式。
定理：若一切 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img18.gif，[單書作 X http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img19.gif 0]，http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img20.gif，k>1，則
k\mu\}
當然也有
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我想證明就可以省了；由「我們班」的例子就很明白了！ 倒是必須註解一下： 1 定理中，k>1 可以改為 k>0，因為 0$" align=middle src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img23.gif" width=71 height=29> 時，這不等式就「無聊地成立！」(trivially true) 2 若不是利用相對頻率 f 之概念，則定理的數學表達式就麻煩了，要寫成
k\mu\}\mbox{ {\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\... ...ily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98} }}{N}
這不但煩（繁），而且意思反倒不清楚！
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img1.gif7. 在上一定理中當然我們必須假定 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img25.gif，（即 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img18.gif，一切 i）。你該造個例子說明「在 X<0 時，敘述（可以）為誤」，不過，不論 X 為何，令
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