人怎樣求得面積？
一、早期的貢獻人類很早就碰到了求面積求體積的問題（以下通稱求積問題），由於求積問題是來自實際生活的需要，地球上各民族，都不約而同，對它做過一定程度的貢獻。這些貢獻廣泛散見於各地留存的古籍。記載顯示，各民族都知道利用較簡單的圖形，例如多邊形或小長方形的聯集等，來逼近（或稱窮盡）一塊較複雜的面積。如果說這一想法便是積分的概念 註1 ，那麼我們大可以放心地說，人類老早就從概念上認識了積分。 在中國，三國時魏人劉徽為求圓周率的近似值（西元263年），已經利用過三千零七十二邊的內接正多邊形來逼近圓的面積 註2 。九章算術經載震再校訂的版本中，仍存有劉徽的弧田圖。（見圖一）劉徽改編過《九章算術》 註3 ，並著有《海島算經》。當時他計算出來的圓周率精確到 3.14159，概念上雖亦建立在積分上面，但所需的方法則遠為複雜。可以想見中國人在三國以前，對於積分這個表面十分摩登的概念，一定已經知道一段時侯了。http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_2_04/mm_02_2_04_01.gif 圖一、戴震的《九章算術》校定版中插圖之一。它說劉徽用以計算π的窮盡法（西元264年）。
對於積分概念的運用，劉徽的成就當然不是一項孤立的事實，在他之前有東漢張衡（約公元130年左右）。同時代有三國吳人王蕃，其後更有晉祖沖之（公元430∼501），趙友欽（公元1300年左右）。宋人沈括所著《夢溪筆談》（公元1086）中亦曾提過「割會之術」、「再割」、「造微之術」、「隙積」等語。而明周述學（公元1558）所著《神道大編曆宗算會》一書中，也錄有三角錐內堆積十層彈丸的附圖。 在日本十七世紀的數學家對積分概念也有進一步的貢獻，村松茂清（公元1683年歿）將球體切成許多平行的薄片，每片都近似於一段扁圓柱，藉此求得球體體積的近似值，其後野澤（約在1664年）再行切薄，而澤口一元（約1670年）在其所著《古今算法紀》一書中，亦用同樣想法求出圓面積。（見圖二）
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_2_04/mm_02_2_04_02.gif 圖二、Smith & Mikami（三上義夫）,《A Histoty of Japanese Mathematics》(1914)，第130頁所附的1687年《改算記綱目》插圖）
在西方，由於希臘文明（不專指雅典文化）保存較為完妥，積分概念的起源，可以遠溯到公元前三世紀 Eudoxus（408∼355 B.C.）在窮盡法 (Method of Exhaustion) 上面的啟蒙工作。Eudoxus 是柏拉圖的弟子，曾認識到，給定兩數，自第一數扣除其本身之半（或大於其半的部份），再自所餘扣除所餘之半，將此重複進行，經有限次扣除之後，所餘可小於第二數。這個性質後人稱它為 Archimedes 性質 (Archimedes Principle) 是因窮盡法來到 Archimedes（公元前287∼212）才有了較有意思的體現。Archimedes是西西里島Syracuse人，他先用多角形逼近一個圓，而後以圓的某一取定的直徑為軸，將整個圖形迴轉，來求得球面面積。說明了直徑為 R 的球面面積正好就是半徑為 R 的圓的面積。（例如半徑為單位長的球面面積等於 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_2_04/img1.gif。）事實上，早些時侯，Euclid（約公元前300年左右）也用過窮盡法證得圓的面積與半徑平方成正比。 如果用心比較早期中西數學發展的差異，可以看清中國人的數學側重「量的數學」，希臘人的數學（假設用它來代表早期西方數學的話）則偏於「質的數學」。同樣都基於所謂「積分」的概念（或說「窮盡法」），中國人花費心力在找些實際的數值（如圓周率），希臘人則日夕在追求各種量與量間相等或大小的關係。 但不論其間差異如何，人類早在兩千多年前，便從概念上認識了「積分」。這是一個不爭的事實。
二、微分與積分
可是只從概念上知道一塊面積，可用多角形或小長方形的聯集來逼近並沒有解決求積問題。窮盡法只能用來計算少數特定的圖形，如直線、圓、拋物線或 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_2_04/img2.gif 等類曲線所圍成的區域及空間中球面、圓錐等的面積體積。至於一般的求積問題，對於十七世紀以前的人類，仍沒有一套普遍的方法。如果硬將概念與計算拆成兩個層次，積分該說是易懂而難算。 反過來，微分是難懂而易算，直到十七世紀人類才在某種特定的社會條件下認識了微分。更值玩味的是從牛頓（1642∼1727）完成《De Analysis》（約在1696年）及萊布尼茲（Gottfried von Leibniz, 1646∼1716）在《Acta Eruditorum》發表他微積分的第一篇文章以後兩百年間，微分的計算雖已廣泛應用到數學與其他相關科學，但微分的概念仍找不到相對嚴格的定義。可喜微分的概念雖然艱澀，但它的計算與積分正好相反，非常簡單明白。基於這個特點，在微分發明之後數學的發展進入了一個新的紀元。迄今數學的主要部門，連續數學 (continuous mathematics) 一直脫不開它的應用，甚至形式上較為簡易的離散數學 (discrete mathematics) 中很多分支也因借用微分計算的類推而得以發展 註4 。 同樣求積問題因借助微分的計算得以全面發展，這裏我們要說明的正是這一個過程。固然，所謂的微積分基本定理是介於微分與積分間的橋樑，它將求積的問題化成微分的問題，但是這條橋樑，畢竟是自然易明。真正難產的還是微分本身。
三、求積問題發展中的前兩個時期
論者常將積分的發展分成三個時期： (i) 窮盡法時期：主要是希臘文明與十四世紀以前的中國數學文明。以多角形逼近較複雜的一塊面積，在空隙之間填塞新的小三角形或小長方形，增加多角形的邊數。人物以劉徽、祖沖之、Eudoxus、Euclid及 Archimedes 為代表。 (ii)無限求和法時期：主要是文藝復興以後，牛頓流數論出現以前，所作的一些努力，本質上仍然是窮盡法的延續，用長方條的聯集去逼近原來圖形，但不再一味填塞空隙，長方條本身的長度寬度都繼續在變動，以使誤差趨於 0，無限求和的概念立足於 Cavalieri 原則（1635年），人物自Cavalieri、村松茂清開始，尚有野澤、澤口一之、John Wallis、Fermat。 (iii)微分法時期：自牛頓、萊布尼茲正式總結當時的微分學起，處理求積問題跨入了新的階段。 我們認為：從第一時期到第二時期，概念上是有了若干程度的進步。事實上，無限求和法背後已蘊藏了微分的概念，但在方法上求積問題還停留在個案處理的階段，因此就方法論的觀點來看，第一、第二兩個時期仍可合併為一個階段，我們舉了求拋物線面域的例子，分別說明兩個時期的代表人物 Archimedes 與 Fermat 怎樣計算其面積。 例1.（西元前兩三百年 Archimedes 的求法） 設 A 為拋物線 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_2_04/img3.gif，與兩直線 x=b，y=0 所圍成的面域，其面積仍用 A 代表，考慮一系列的面積（如圖3）：http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_2_04/img4.gif 四角形 OBRP1，六角形 OBRP2P1P2'，……。這裏 P1M1，平行於水平軸，M1 是 OR 中點，同樣 P2 M2，P2' M2'，平行於水平軸，M2，M2' 分別為 P1R，OP1 中點……。我們看到這一系列的面積逐漸逼近所求的拋物線面域 A，其間空隙一步步由小小的三角形填塞。
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_2_04/mm_02_2_04_03.gif 圖三
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_2_04/mm_02_2_04_035.gif 圖三之一
現在我們來算算小三角形的面積，比如說取 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_2_04/img5.gif，Archimedes 在他的《Quadrature of the Parabola》一書中觀察到拋物線過 p2 點的切線恰好平行於 P1 R，易知
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[若直接用座標計算，亦得： http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_2_04/img7.gif, http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_2_04/img8.gif, http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_2_04/img9.gif, http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_2_04/img10.gif, P1M1=b/4, P2M2=b/16，而知 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_2_04/img11.gif, http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_2_04/img12.gif]，這個關係在逐步逼近時仍然保持，因此 A 的計算變成了求等比級數的問題，得
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雖然限於當時條件，Archimedes 對上述無限級數求和的過程不太嚴格，但他的估計是對的。
例 2.（十七世紀初 Fermat 的求法） 註5 與例 1 同樣，A 是由拋物線 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_2_04/img3.gif 與 x=b, y=0 圍成的面域。（如圖4）
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_2_04/mm_02_2_04_04.gif 圖四
可以看出
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在逼近於 A，這裡 e 是一個接近於 1 但小於 1 的數，當 e 越接近 1 時，空隙的陰影部份會越來越小（讀者不妨取 e=0.9，再取 e=0.99，畫圖比較看看）。現在先固定取好 e 值，得
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然後讓 e 趨於 1，這時 E 也就趨於 1，故
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此即
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_2_04/img17.gif 天阿又是一堆數學算式 看了頭好痛 看了您提供了這麼好的主題內容資訊，真是讓人收益良多
以前在這方面懂的並不多
只能偶而看書、不然就是從朋友聊天當中，才能或多或少知道一些
現在真的又從您這裡學了好多 好複雜阿........
走過一回
留言是美德 天阿 這是數學阿
微積分從高中到大學就在不停的重修
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