質數 3
問題當然仍在這個 θ 不易找到而已。定理只證明了它的存在性，也和以前的定理一樣，依賴以前對質數的知識。 利用 Wilson 定理：http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img60.gif
可以寫成
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所以，若 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img62.gif 為少於或等於 x 的質數數目，則
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質數既然是重要且又難求，歷代不少數學家皆想發現一個簡單明瞭的公式，把所有質數囊括下來，如若不能，也希望發現一個公式，它的函數值永遠是質數。 我們以前介紹過多項式的表現法，此外還有其他難以下定論的各種函數，現往羅列出來。 (1) 階乘函數列 f1(n)=n!+1 我們容易得到， f1(1)=2,f1(2)=3,f1(3)=7,但f1(4)=25不是質數，f1(6)=721，也不是，但 f1(11)=11!+1=39916801是質數。f1變化很大，我們不知道f1(27)=27!+1是否為質數。這個數列到現在還未曾證明，是否只表現有限幾個質數而已。由此推論，(n!)2+1,n!-1，也可以構成一些質數數列了。 (2) Catalan 數列 Cpn+1 令Cp0=2，而 Cpn+1=2Cpn-1，是否對所有n皆成質數？ Cp1=22-1=3,Cp2=23-1=7, Cp3=27-1=127,Cp4=2127-1皆是質數。但 Cp5=2(2127-1)-1是一個非常大的數目。 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img64.gif 一時還不能知道它是否為質數。因而 Cpn-1 是否永遠為質數，想也不容易解決。 (3) Cullen 數列 Cn=n2n+1 C1=3,C2=9,C3=25 ,C4=65,C5=161 ,C6,C7,C8,C9,C10 皆不是。這數字也不易分解，但出現質數不多的樣子。略改一下，Tn=n2n+7，則有 T1=9,T2=15 不是，但 T3=31,T4=71,T5=167 都是。 T6=391不是，T7=903 不是，T8,T9 不是，但 T10=10247 又是了。 Tn=n2n+7是否有無限質數以此形式出現呢？ 回到Cullen數列，二十年以前，仍以為它都是「合成數」，不可能包含質數。R.M. Robinson在1957年找到， n=141時， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img65.gif是個質數，問題改觀。 英人C. Hooley在《Application of Sieve methods to the theory of number》(1976)中，曾用篩法計算。若 n2n+1 為一質數的上限值來算出這類數列中幾乎所有數目都是合成數。並討論 (2n+n2) 亦然。 (4)冪函數數列 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img66.gif(n個平方) 因 S0=2,S1+5,S2+17,S3=216+1=65537都是質數。但 2216+1=S4不是，有一個因數 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img67.gif，故不可能永遠是質數，究竟這個數列會不會包含無限個質數呢？ 同樣，數列 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img68.gif，有 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img69.gif 也不知道是否含有無窮質數。反之，數列 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img70.gif 有 7,9,21,65541，不會再有質數。因 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img71.gif 為 7 所整除，同樣 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img72.gif 則為 13 所整除。 (5)費瑪數列 Fn=22n+1(Fermat numbers) 已知 F0=3,F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537皆是質數。除此外，並未發現任何新的費瑪型質數，故有人已懷疑是否仍存在 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img73.gif 的費瑪型質數了。例如 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img74.gif 在高速電算機沒有建立以前，人們用筆算算出了下列 n 值 Fn 都不是質數， 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 23, 36, 38, 39, 58, 63, 73。今日利用電算機，則可以查察到，下列 n 值的 Fn 數列 77, 81, 117, 125, 144, 150, 207, 226, 228, 260, 267, 268, 284, 316, 452, 1954 皆是合成數，由於 fn 值的合成關係，我們可見其間多的是空隙，例如 F1945=221945+1 這個數之位數高達 10582 個是已知最大的一個合成數，當然不可能寫出全貌，但已知 m=(5 x 21947+1) 是它一個因數，這個數字也有587位，還知道它也是一個質數呢：(參看 Sierpinski 的整數論問題) 要查 Fn 是否為質數，我們可以證明：(Lucas 定理1878) Fn 的每一個自然數因數，都必是 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img75.gif 之型，http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img76.gif 為一整數。如用此定理，可以獲得 F5 有一個 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img77.gif 的質數因子，F6 則有 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img78.gif 的質數因子。此外如 F9,F10,F11,F12,F15,F16 都有此類質因數如 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img79.gif的因子，在1953年發現。可是，在n值很大， Fn的質因數 k x 2n+2+1太大了，一般不易一一檢證每一個k值，例如F7和F8便是。蓋 F7=227+1有39位，不易查搜。J.C.Morehead在1905年用定理： 如 Fn 是質數，則 322n-1+1 為 Fn 所整除。 因而證明了F7整除了32127+1，但仍不知道質因數。直到1971，Morrison和 Brillhart 用電算機算出
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Beriler的《Recreation》一書中曾將http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img81.gif以下所有Fn的已知因數列出來。
(6)研究Fn亦是數學家認為一件好玩的事，我們附錄一件已知事實在下面，以供參考。 a.http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img82.gif，最末數字均為7。 b.若2m+1為一質數，則一定是費瑪數，即m一定是2n形式。 e. http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img83.gif f.Fn和Fk互質，即 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img84.gif，因此證明質數無窮。 g.Fn是否包含無窮個質數？仍是未知。 h.從Fn數推出，形如nn+1或nnn+1之質數。 (nn+1) 為質數的充要條件是 n=22r，r>0整數，且F1+2r為質數。在30萬位數以下，只有 11+1=2,22+1=5,44+1=257是質數，其他都是合成數。但由於 F20,F37,F70, http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img85.gif，都未查出是否為合成數，我們還不知道其他性質。若nnn+1為質數；如 111+1=2,222+1=17，則一定要 (nnn+1)=F[r+2(r+2r)]。目前只知在1018 位數以下，只有n=1，和n=2二個質數。還有沒有其他呢？ (7)梅仙涅數列 2n-1(Mersenne Numbers) 梅仙涅數列也是古今用來找尋質數最常見的數列之一，現在所知的梅仙涅質數Mn，一共有二十四個，如22-1=5,23-1=7http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img86.gif即是 Mn,n=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,共12個，是電算機末發明前算出來的。
在1952年以前，最大的質數是
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Mn,n=521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9889,9941,11213,19937
都是1952年以後再發現的。
容易證明，如Fn=2m+1為質數，則m=2n，故Fn=22n+1。 同樣，如Mn=an-1為質數，則a要為2，n為質數，故Mn=2p-1。 這個數列最先是由法國數學家Mersenne在1644年提出來的。 雖然這數列仍是目前利用電算機來找尋最大的質數之途徑， (像M9941是一個2993位數， M11213是一個3376位數，而M19937是一個6002位數字) 據最新報導，(請參考《趣味數學》雜誌，中譯見《科學月刊》四月號) 梅仙涅數最近又發現了幾個：第二十五個和第二十六個是1978年10月由高速計算機找到的。第25個是 p=21707,M21707=221707-1 第26個是 p=23209,M23209=223209-1 最新一個是第27個，1979年由D.Slowinski發現的。
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