質數 4
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img88.gif即他的位數為 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img89.gif約近於7373位數字，想來也大得可以了。但直到現在，我們還不能知道是否有無數個梅仙涅質數呢! 下面列出一些有關的定理。
a. 若p為一質數，則Mp的每一個自然數因子必為(2kp+1)型的數字， (http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img76.gif整數)，如M11的因子就是(22k+1)，k=0,1,4，因此 M11=2047 =1 x 23 x 89，可是M101雖被證明為一合成數，且只有二個質數因子，但仍不知道其分解式。 b. http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img90.gif，Mp的分類如下： (甲)質數：2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127 (乙)全被分解的合成數：11,23,29,37,41,43,47,53,59,67,71,73,79,83,97, 103,113,151,163,179,181 (丙)合成數，二個以上因子已知：173,191,223,229,233,239,251 (丁)合成數，只知道一個因子：109,131,157,167,193,197,211,241 (戊)合成數，但不知任何因子：101,137,139,149,199,227,257 例如 (甲) M89=61897001964269013744956211 (質數) (乙) M113=2113-1=3391 x 23279 x 65993 x 1868569 x 1066818132868207 (丙) http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img91.gif (丁) M241=22000409 x ? (戊) M257=2257-1， M137=2137-1 都是合成數，但因子不知。
c.定理：若p是(8k+7)型質數，則p整除 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img92.gif 例如47整除M23，479整除M239，503整除M251 (附加條件還要http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img93.gif同是一個(4k+3)型的質數才是)
d. Lucas-Lehmer數列：4,14,194,37634,http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img9.gif
即
u1=4,un=un-12-1
可用這個數列來檢定Mn是否為質數。
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img94.gif
(這個定理是充份且必要之條件。故此，當不對時，Mn便為合成數了。) 例如其中第四項 u4=u3-12-2=1942-2=37634，定被M5=25-1=31所整除，因此M5=31為質數。有人計算M101不能整除u100。故M101應是合成數。若
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img95.gif
則
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img96.gif
由於un都是偶數，上述數列可改為： http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img97.gif 即
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img98.gif 找尋質數的方法雖然尚未定案，有史以來，人類不斷的努力，相信這種努力一定會繼續下去。 1830年，H.J. Scherk 說過，只要選擇得，+或-號，
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img99.gif
例如： p6=1+p1-p2-p3+p4+p5, http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img100.gif 或可改為 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img101.gif 例： 17=2+3-5-7+11+13。自然，這些公式對追尋新的質數並無實際好處。 千百年來，為了尋質數，人們發現不少定理，例如： 定理：
如果 N-1=FC，其中 F 的質因子 q 已知，且 F>C>0，若 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img102.gif 且 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img103.gif，對每一個 F 的每一個質因子 q 皆為真，則 N 是一個質數。 例如：
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img104.gif
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img105.gif
令
F=108,a=7
因此，
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img106.gif
可以計算出 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img107.gif
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img108.gif
故 N 為質數。 有關這類的「分解因子」的問題，可以參看 R.Guy(1975):〈How to Factor a number〉. Proc. 5th Manitoba Conference on Numer. Math. and Comput. Univ. of Mamitoba. Canada. Lehmer:(1969):《computer technology applied to the theory of numbers》. (Studies in Number Theory )MAA(美國數學會叢書) 我們結束這篇小報告之前，介紹二個現代研究問題。看看！ (A)容易明白， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img109.gif, 若 p 是質數的話。因此
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img110.gif
能否用這個公式來反證「逆定理」呢？即證明此式為真時則 p 為質數呢？有人查過在 n=101000 下皆為真，但證明仍毫無頭緒。 (B)有人 [參考 Jones, Sato, Wada, Wiens 的《Diophantine Representation of the set of prime numbers》, 1976, Am. Math. Monthly.] 計算出，質數集合與一個二十五次的二十六個變數的多項式所有的函數值相同：
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img111.gif
頁:
[1]