韓信點兵 1
韓信撫著寶劍，沉默地坐在樹下。遠處，農夫們經過一天辛勤的耕種，個個荷鋤回家；農莊上處處炊煙，是吃晚飯的時候了。想到晚飯，韓信更加覺得饑餓。打秋風不成，早飯中飯已成畫餅。與市井少年們閒盪了一天，晚飯還沒有著落。除非像今天這樣腹內雷鳴，韓信是不願麻煩漂母的。 「漂母，漂母，」韓信想道：「多麼勤勞的女子啊，誰也想不到如此平平凡凡的人是如此豪俠可敬。我實在不忍心吃她那一點可憐的食物」然而世上只有這種人才會與他分享食物。 遠處漂母背著布匹蹣跚地來了。韓信搶步上前，要替她背負。 「去罷!家中還堆著一些。」漂母說。 一匹匹布終於被韓信運到河邊。漂母開始浣洗布匹，韓信坐在河邊敝著胸口喘氣。 「累了罷！你為什麼每次多背一匹呢？」漂母問道。 「我想這樣可以少走一趟，也能省點力氣」韓信答道。 「是麼?!你以為每次背六匹就會少走一趟嗎？你平常好談『籌策之術』，考考你，這一堆布我數過，五匹五匹一堆，正好堆完，六匹六匹一堆，剩下一堆只有一匹布，而且堆數一樣多。你說說看，到底有幾匹布？」漂母慈愛的看著韓信。 韓信檢起一些石子樹枝，開始運用古代流傳的「籌策之術」計算起來。良久，韓信頹然嘆息道： 「我知道有廿五匹布，可是算不出來，也求不出公式。請你指教指教吧！」 漂母一邊收拾洗好的布匹，一邊笑道：「去吃飯罷！我也求不出一個公式。隱隱中，我覺得這類問題十分博大精深，要窮無數人精力，積數十代功夫，才能求出一個解法。老婆子老了，只有寄望你們年青人了。」 轉信點著頭，又忍不住沈思起來。楚王韓信身披黃金鎖子甲，端坐在寶座上。「百戰功高天下英雄少敵手，官拜楚王」「百戰功高，百戰功高，的確，的確，嗯，嗯，功高震主者一一身危?!」韓信雜亂的想著；想當年，秦皇帝橫徵暴歛，貴族奢侈享樂，更加上連年作戰，老百姓們實在活不下去，只好造反。夾雜在造反團體中的韓信，終於嶄露頭角為劉邦賞識重用。韓信率領的一支軍馬，一路勢如破竹;渡河，破趙，下齊，與劉邦合圍項羽於垓下。終於逼得那個殘暴嗜殺的霸王項羽自盡烏江，天下稱快。可是，天下統一後，漢皇帝劉邦開始猜忌功臣。楚王韓信想到這裡，不禁長長嘆了一口氣! 韓信封楚王後，唯一快樂的事是重逢故人漂母。漂母更加蒼老了，那明察的眼光，似乎能洞悉一切。她微笑地收下韓信奉上的千金重寶，而對跟隨韓信的顯赫車騎似乎連一眼也沒注意。滅秦敗項羽多少年來的辛勤換來漂母嘉許的目光，韓信是無比的快樂。當他告訴漂母，他已經找到一個初步的方法來解決數布匹的問題，漂母是多麼高興啊，年老慈愛的臉上，充滿了光輝。 「五五數之不剩，六六數之剩一」的解法是在六的倍數，六，十二，十八，二十四，三十，上各加一。得下列數目，七，十三，十九，二十五，三十一。然後再從，七，十三，十九，二十五，三十一中找五的倍數。得到二十五。那麼二十五就是「五五數之不剩，六六數之剩一」的一個解答了。另外；二十五加三十得五十五，五十五加三十得八十五。所以五十五與八十五也都是上列問題的解答。只要再數數堆數，便可以確定共有二十五匹布了。用這類方法，「三三數之剩二，五五數之不剩」的解法是：在三的倍數，三，六，九，十二，十五，……上各加二。得下列數目，五，八，十一，十四，十七。其中五的倍數是五。所以五是「三三數之剩二，五五數之不剩」的一個解答了。同法可以求出三是「三三數之不剩，五五數之剩三」的一個解答。所以三加五得八是「三三數之剩二，五五數之剩三」的一個解答。另外，八加十五得二十三，二十三加十五得三十八。所以二十三，三十八也都是上列問題的解答。 「三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」韓信神遊太虛，沉思在神奇數學中。
「卿部下有多少兵卒？」漢皇帝劉邦單刀直入地問道。 「敬稟陞下，兵不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。」楚王韓信答道。 大漢皇帝劉邦酒醒了幾分，本來按照張良的計劃，這次皇帝巡狩雲夢大澤，是要趁機捉拿韓信。如今韓信奉召在座，只要一聲令下，間壁伏下的甲士便可動手了。可是，問題中的問題是：韓信手下有多少兵卒？會不會引起大亂？陳平使盡神機也查不明白兵數。動手？不動手？真是猶豫難決的事。現在乘著酒酣耳熱，單刀直入的問了。結果是什麼「三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二」?!多少兵?!劉邦帶看詢問的臉色，望著張良。 張良正在心中緊張地搬運「籌策」計算看，滿臉迷惑。當他接觸到皇帝的目光，立刻低聲而惶恐的回答: 「兵數無法算，不可數！」 這位以「籌策之術」著名當代，號稱「運籌帷幄之中，決勝千里之外」的人，竟然也如此回答。大漢皇帝劉邦大吃一驚，一下子酒全化為冷汗，酒全醒了。
時日匆匆，不覺又過了幾百年。隆盛的漢室逐漸衰敗崩潰，大漢皇朝走上末代皇朝的老路：貴族橫行不法，民眾困苦不堪。結果魏、蜀、吳互相攻伐，白骨遍野，死傷相藉。在這樣一個時代，東山隱者 1 結廬於深山，逃避戰亂、專心著述。 一日，雨過天晴，陽光普照，東山隱者捧著剛寫成的《孫子算經》欣喜地坐在青山下，凝神遐想。 布衣荊釵的東山隱姜提著一籃蕨薇，涉溪而來。 「夫子大功告成了罷?!」隱姜問道。 「大功告成了。但願這本《孫子算經》能流傳後世。自從《周髀算經》、《九章算術》問世以後，這幾百年民間傳誦發揚的算術道理，從來沒有人整理編輯。希望這本書能在這方面盡些力氣。隱姜，你說我為什麼偽托孫子？」隱者問道。 「喲！幾十年來，難道我還不明白你的心思嗎？自從東漢以後，重名不重實，又加上戰亂，只有清談玄理、陰謀詭詐的人才算高明。何況你雖遊遍天下，可是一不交結巨公顯宦，又不到處吹噓隱者之名，一輩子也成不了名動天下的「大隱(?)」所以，如果你不偽托孫子，那麼這本書一定湮沒失傳，幾百年來多少人的心血也會成空。此其一。」 「其二呢？」隱者點頭微笑問道。 「那更容易。還不是介子推老夫子的那句話「貪天之功，以為己力」，孔丘老夫子的那句「述而不作」。必須積累無數人力與 時間去摸索與探測，才能逐漸了解及發現真理。總括大成者，怎 能攘為己有，作此盜名欺世之事。」 「真吾妻也！真吾妻也！」隱者哈哈大笑。「數百年來流傳的韓信點兵問題，在這本書裡，也有一個較好的解法了。」 「那太好了，就請你指點吧。」隱姜說。 「原題是『三數剩二，五數剩三，七數剩二』。現在我們先求『三數剩一，五數不剩，七數不剩』的解答。我們可以從三十五的倍數中，找『三數剩一』的數目，譬如說，七十就是一個解答 。再求『三數不剩，五數剩一，七數不剩』的解答。在二十一的倍數中，二十一本身就是一解。另外求『三數不剩，五數不剩，七數剩一』的解答。在十五的倍數中，十五本身適合『七數剩一』。七十，二十一，十五這三個數是解答這個問題的關鍵。這類數目可以定名為『用數』。把這三個用數分別乘剩數，二，三，二，然後相加。七十乘二得一百四十，二十一乘三得六十三，十五乘二得三十。一百四十，六十三，三十，三數相加得二百三十三。這就是原題的一個解答。另外用三乘五再乘七得一百零五，二百三十三加減一百零五的倍數就可以得到所有解答了。所以算出二十三，一百二十八等等都是解答。」 「這樣說來，終於求得『韓信點兵問題』的公式了。嗯，韓信手下可能祇有二十三名兵卒，竟然驚走漢高祖劉邦，可見算術的神奇莫測！」隱姜讚許道。 隱者談鋒很健，又繼續發揮道： 「天象周期循環不息，比如說，月的盈虧現象，五星（當時知道的辰星、太白、熒惑、鎮星、歲星，也就是現在水星、金星、火星、土星、木星）運行現象，日夜循環現象，四季輪替現象等等。凡是周期現象都孕含剩數的道理。普通計時用的月份、日期、時辰都是運用剩數觀念。剩數觀念源遠流長，以後一定蔚為大宗。可是那要等到天下太平民物鼎盛的時代了。到那時算術才能蓬勃發展，剩數的精深觀念，才能得到闡揚啊!那才真正夠得上『神鬼不測之機』。」 隱者與隱姜坐在青山下，出神遙想千年萬載後的中國。
韓信點兵問題在中國逐漸演進推廣，慢慢變成後世流傳的「大衍術」及「大衍求一」。唐代一行和尚以精通「大衍術」著名。到了宋代，秦九韶在《數書九章》中寫出更完美更容易了解的公式。 一代一代的中國人，辛勤地工作，創造了無窮華美的人物。當古希臘羅馬文明沒落，西方歐洲淪入千年黑暗時期。只有東方中國與阿拉伯文明輝映四方。尤其是中國文明艷麗萬端，燦爛眩目，成為人類最寶貴的一支財寶。 當西方甦醒，以工業革命的渾厚力量，推動，發展文明，歐洲人也開始摸索，研究類似「韓信點兵」的重要數學問題。當他們了解中國人在十幾世紀前的貢獻，他們一致歡喜讚嘆，而把這個問題的解法命名為「中國剩餘定理」(Chinese Remainder Theorem) 以紀念中國人的偉大貢獻。現代中國人追思《孫子算經》的無名作者，而把這個定理命名為「孫子定理」。孫子定理──或者中國剩餘定理──成為近代代數，數論以及代數幾何中最重要的定理之一，它的光芒四射，照耀了無數角落。
故事講完了，現在讓我們一起研究一下孫子定理──或者中國剩餘定理。數學的發展和數字的寫法以及公式的表達法有密切的關係。中國古代盛行代數，是受了中國優良的記數法的影響。到了近代，由於人類發明 ＝,－,＋,×,http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img1.gif，以及用抽象符號 x,y,a,b 代表數字，使得代數成為易懂的數學。對於「剩餘」這個概念，我們也要引進一種符號來幫助了解，記憶。 首先「三數剩二」是什麼意思呢？那不過說某一個數 x 被 3 除剩餘 2；換句話，x-2 被3整除。我們用下式表示「三數剩二」
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定義1：已知 a-b 被 m 整除，我們說「a、b 對模 m 同餘」。用下式（同餘式）表示。
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反之，
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表示「a,b 對模 m 不同餘」；換句話 a-b 不是 m 的倍數。 例1： http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img5.gif 例2： http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img6.gif 表示 a 是一個奇數。 例3： http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img7.gif 表示 a 是一個偶數。
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