猴子敲打出莎士比亞全集
蔡聰明莎士比亞全集是人類天才智慧的至高創造，然而今人驚奇的是機率論可以證明：一隻猴子在打字機前任意地且不斷地敲打下去，殆確（almost sure，即機率為 1）可以得到莎士比亞全集。下面我們就來介紹這個奇妙的結果。 首先將莎士比亞全集翻譯成摩斯電碼（Morse code，例如 ‥·––– ‥·表示 SOS），得到由點與線段所組成的一長串符號，長度雖然很長，但終歸是有限。 其次，猴子的打字也翻譯成摩斯電碼：敲打出一個點或一個線段的機率各為http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img1.gif。猴子不斷地敲打下去就可以得到一個無窮序列之摩斯電碼。 接著我們考慮一個銅板，其有正面 (head) H 或反面 (tail) T。將此銅板獨立地且不斷地丟下去，就得到一個銅板序列（又叫做樣本點）
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所有可能的銅板序列全體就組成樣本空間 (Sample space)：
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現在將 H 與 T 分別對應線「－」與點「．」，於是一個銅板序列就對應一個摩斯電碼序列，反之亦然。從而猴子打字就相當於丟一個公正銅板 (a fail coin)。因此，我們的問題就轉化成：不止息地丟一個公正銅板，可以得到莎士比亞全集的機率是多少？ 機率論所要研究的對象是涉及說不準 (uncertainty) 的隨機現象。在思考上，我們必須分辨現實 (realization) 與可能 (possibilities)。作個隨機實驗，得到一個現實 ω（又叫樣本點），相應就有所有可能結果所形成的樣本空間 Ω，現實 ω 只是樣本空間 Ω 的一個元素。機率論就是要相對於一個樣本空間 Ω，衡量其中一個事件 (event) http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img4.gif 的機率大小。這必須對一個隨機實驗建立機率空間 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img5.gif，其中 F 為事件全體，P 為一個機率測度。在這個架構之下，對 A http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img6.gif F 求算機率 P(A)。 對於「無窮多次丟銅板」這個複雜的隨機實驗，根據測度論 (measure theory)，我們可以適當地為其建立一個機率空間 (http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img7.gif)。我們要問：一串符號模式 (pattern)，例如「HTTH」或「莎士比亞全集」，在銅板序列中發生的機率是多少？ 首先我們考慮「H」模式的特例。不斷地丟一個公正銅板，直觀經驗告訴我們，幾乎可以確定 H 會不時地出現。 為了闡明這個直觀結果，我們先作一般的準備。設 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img8.gif 為一列事件，令它們不時地發生之事件為 B，那麼 B 的結構是什麼呢？
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所以
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通常我們簡記， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img11.gif 為 (An, i.o.) 這表示 An 不時地發生的事件，i.o.是“infinitely often”之縮寫。 另一方面，事件 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img11.gif 代表什麼意思呢？
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因此， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img13.gif 表示，除了有限多個指標之外，對其餘的指標 n 皆有 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img14.gif (for all but finitely many n)。換言之， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img11.gif 表示 An 終究 (eventually) 要發生的事件。 由集合運算的 De Morgan 法則知道
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並且顯然有
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模仿數列的上極限 (upper limit) 與下極限 (lower limit) 的定義，我們也有如下的極限概念。 定義： 當 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img17.gif 時，這個共同集合 A，叫做 (An) 的極限，記為 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img18.gif 由機率的演算規則，我們可以證得下面兩個定理。 定理1：(機率測度P的連續性) 若 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img18.gif，則 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img19.gif、
定理2： (i)Boole不等式：
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(ii)次可列加性(countable subadditivity)：
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事件 (An i.o.) 的機率是多少？由定理1與定理2知
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所以，如果 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img23.gif（收斂），則 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img24.gif，於是
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但是，如果 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img26.gif（發散），由(1)式我們對於 P(An i.o.) 得不到什麼結論。然而。若再加上 (An) 為一列獨立事件，那麼由不等式
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就得到
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從而
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當 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img30.gif，上式最後一項趨近於 0，因此，對任意 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img31.gif，恆有 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img32.gif，於是
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由此可得
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定理3 （Borel-Cantelli 補題） 假設 (An) 為機率空間 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img5.gif 中的一列事件，那麼我們有 (i) 若 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img35.gif，則 P(An i.o.)=0 (ii) 若 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img36.gif 且 (An) 是獨立的，則 P(An,i.o.)=1
註：(i)與(ii)分別叫做第一與第二 Borel-Cantelli 補題。 定理4 （Borel 0-1 律或 Borel 兩條路定理） 假設 (An) 為機率空間 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img5.gif 中的一列獨立事件，那麼 P(An i.o.)=0 或 1，端視 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img37.gif 為收斂或發散。 現在回到先前的問題：在銅板序列中，模式「H」不時地出現之機率是多少？令 Hn 表示第 n 次丟銅板，出現正 (H) 之事件，那麼 (Hn) 是獨立的，並且 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img38.gif。於是
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由定理3的(ii)知，P(Hn i.o.)=1，即不時地出現正面的機率為 1。 進一步我們問；有限模式「HTTH」不時地出現之機率是多少？ 今 En 表示「HTTH」的模式在丟第 n 次銅板時開始出現之事件，亦即
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於是
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從而 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img42.gif，不巧的是，(En) 不互相獨立，所以我們不能使用第二 Borel-Cantelli補題。還好，事件 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img43.gif 是獨立的， 並且 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img44.gif，故由第二 Borel-Cantelli 補題知 P(E4k+1 ,i.o.) = 1，今因 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_12_1/img45.gif，所以
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立即得到
P(En i.o.)=1
換言之，模式「HTTH」不時地出現之機率是 1。 同理可證，任何由 H 與 T 所組成的有限長度之模式，在銅板序列中不時地出現之機率也是 1。因此，我們就證明了下面的驚人結論： 定理3： 猴子不時地敲打出莎士比亞全集的機率為 1。 豈止是敲打出而已，是不時地敲打出且機率為 1，這個結果跟直觀常識似乎是矛盾的，故被稱之為 Borel 詭論 (Borel paradox)。什麼是天才的創造？機運或偶然？堅持或努力？ 從另一個角度來看，這也反映出如果生命「無窮」並且「永不止息」地工作下去，會產生石破天驚的成果，沒有什麼事是辦不到的。愚公移山是另一個例子。 莊子說：「吾生也有涯，而知也無涯。以有涯逐無涯，殆矣！」然而，數學或人間許多浪漫情事，恰好就是「以有涯逐無涯」所完成的。
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