圓與π
圓的周長與面積公式，從小學、中學的數學到大學的微積分，一直都沒有處理好，要不就是語焉不詳，就是繞圈子。本文我們尋求一種不繞圈子的嚴格講法。 大家在小學的時候都學過兩個著名的公式： 圓的周長 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/img1.gif 圓的面積 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/img2.gif 其中 r 為圓的半徑，π 為圓周率或單位圓的面積，並且 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/img3.gif（參考圖一）。http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/sm_27_06_01_01.gif 圖一
這兩個公式是怎麼來的呢？由於要說清楚並不容易，所以老師與課本就採用先背下來「不知亦能行」的策略，一切訴諸直觀，把道理推給將來再去解說。但是,我們查遍國中與高中的數學課本，都找不到蹤跡，甚至大一的微積分課本也不談，即使談了也語焉不詳或繞圈子(vicious circle)。這個「怎麼來」的問題，涉及極限概念與實數系的完備性，果然有點兒深奧，值得我們仔細探索一遍。
圓的周長按照知識發展的常理，我們對於事物的認識是，先從直觀經驗開始，再歸納或猜出規律，最後提出證明而完成。
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直觀的經驗與猜測由生活實踐，對於圓人類很早就認識到「周三徑一」的事實。透過實驗的辦法，度量各種大小不同的圓之周長與直徑，發現圓周與直徑的比值似乎是一個定數，跟圓的大小無關，令這個比值為 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/img4.gif，從而猜知：
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對於小學生來說，這裡有一個很好的數學實驗：度量各種大小與質料皆不同的圓之周長 L 與直徑 D，施以四則運算，列成表格：
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這個實驗有許多好處：練習實地度量，認識度量會伴隨誤差，磨練計算與系統地列表，主動地找尋規律。
嚴格的論證考慮圓內接（或外切）正 n 邊形，當 n 越大時，越接近於圓。因此，圓周長應該就是圓內接（或外切）正 n 邊形的周界長在 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/img7.gif 時的極限值。換言之，圓可以看成是無窮多邊的正多邊形，每一邊都是無窮小 (infinitesimal)。對於一般的曲線，我們也採用同樣的方法來定義它的長度。如圖二，給一條曲線，我們在其上取有限多個點，連成折線，計算折線的長度。令所取的點之個數趨近於無窮大並且每一小段都趨近於 0，如果折線的長度存在有極限值，那麼這個極限就定義為曲線的長度。當極限值不存在時，曲線的長度就沒有定義。
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/sm_27_06_01_02.gif 圖二
因此，曲線長，特別地，圓周長的存在性並不是天經地義的，而是需要證明的。下面我們就來做這件工作。 令 Un 與 Ln 分別表示圓的外切與內接正 n 邊形的周界長，那麼顯然有
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我們的目標是要證明： http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/img9.gif 為此，我們採用阿基米得(Archimedes)的辦法，由圓內接正六邊形出發（因為最容易作圖），然後逐次加倍邊數。我們仍然有
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補題1: (i) http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/img11.gif, http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/img12.gif (ii) http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/img13.gif
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/sm_27_06_01_03.gif 圖三
證明: (i) 在圖三中，AB 與 CD 分別表示圓內接與圓外切正 n 邊形的一邊，則
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利用正切函數的定義及倍角公式，很容易證得
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(ii) 由 Ln<U2n 與算數平均大於等於調和平均可得
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反覆利用補題1的(ii)可得
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從而
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由實數系的完備性（區間套原理，the nested intervals principle）可知下面兩極限存在且相等
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這個共同的極限值，我們就定義它為圓周長。 定理1：設兩個圓的直徑分別為 d1 與 d2，圓周長分別為 C1 與 C2，則
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證明：設 Ln 與 Sn 分別為兩個圓內接正 n 邊形的周界長，由相似三角形定理知 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/img21.gif 因為
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所以
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亦即
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因此，圓周長與直徑的比值為一個普遍的常數，跟圓的大小無關，記此常數為 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/img4.gif。今若一個圓的周長為 C，直徑為 d，半徑為 r，則 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/img24.gif，http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/img25.gif 這就是圓的周長公式。
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