從實數到複數

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連結實數域中兩個真理的最短路徑是通過複數域

Jacques Hadamard

複數體 C 是實數體 R 的擴大，並且可以看成 R 上的一個二維向量空間。1 及 i（i2=-1）形成 C 的一組正交基底，每個複數 都可以唯一地表成 1 及 i 的線性
組合


根據這樣的觀點，我們現在提出下列兩個問題：
1. 如果一個數體 編者註 K 也是實數體 R 的一個擴大，並且可以看成 R 上的一個二維向量空間，則 K 與 C 的關係如何？
2. 對於任意大於 1 的自然數 n，是否存在一個數體 F，是 R 的一個擴大，並且可以看成 R 上的一個 n 維向量空間？ 對於第一個問題，我們要證明 K 與 C 有相同的結構，即在 K 中可以找出一個元素 v0，滿足

以及對於每個元素 ，都可以唯一地寫成 1 與 v0 的線性組合：


設 1 及 v 是 K 的一組任意的基底。則 也可以寫成 1 及 v 的線性組合：


我們要由基底 1 及 v 作出一組新的基底 1 及 v0，來滿足上面的要求(1)及(2)。

如果(3)式中 s=0，則取


於是


如果
，則先取

顯然 ，而且 1 及 v' 是線性無關的。由(3)式得


再令


同樣也得到 。

現在證明 v02 = 1 不可能發生，因為否則的話，由 v02 -1 = 0 即得 (v0-1) (v0+1) = 0。由於 v0 與 1 是線性無關的，所以 及

但是在一個數體中，兩個不等於 0 的元素的乘積也不能等於 0。因此我們推得 v02=-1。 對於第二個問題，我們要證明，只有 n=2 時，才能作出一個實數體 R 的擴大 F，可以看成 R 上的 n 維向量空間。 假設對於一個大於 1 的自然數 n，存在一個這樣的數體 F，則必定 n=2。證明如下：

設  但 ，n+1 個元素 v0 =1 , v1=v , v2 , 在 n 維向量空間 F 中必定是線性相關的，因此存在一個實係數多項式：


使得 P(v)=0。一個 n 次實係數多項式在 R 上都可以分解成一次及二次的因式：


由於在一個數體中一個乘積等於 0 時，其中至少有一個因子等於 0，所以在(4)式中至少有一個二次因式


使得 Q(v)=0，並且其中 。設 K 是由 1 及 v 在 R 上所產生 F 的一個二維子空間，由(5)式得到
v2 = -bv-c

利用上式可以計算 K 中任意二元素 及 的乘積：


上式右邊是 1 及 v 的線性組合，仍在 K 中。由此可知 K 中任意二元素的乘積仍屬於 K ，因此 K 本身就形成一個數體。根據第一個問題中討論的結果，K 與 C 有相同的結構，自然一般實係數二次方程式在 K 中也都有解。
如果 是一個任意元素，則由上段中對 v 的討論可知，w 也是一個實係數二次方程式的解，所以 w 必屬於 K。由於 w 是 F 中一個任意元素，於是我們推得 F = K ，這也就是說，我們必定有 n=2。 基於以上討論的結果，我們可以說複數體 C 是 R 唯一的有限維擴大數體。