哥德爾

哆啦ˇ

Godel（1906∼1978）生於現捷克之 Brno，卒於普林斯頓。Godel 是廿世紀最偉大之數理邏輯學家，其不完備定理是廿世紀最具啟發性的思想發現之一。 Godel 自小便很好奇，青少年時即對數學、哲學、語言與歷史產生極大的研究熱誠。他在維也納大學原主修理論物理，後轉回數學，並參與 Schlick（石里克）領導的「維也納學圈」，對數學與科學作本質的哲學探索，1928年因聽了 Brouwer 的演講，乃致力於數理邏輯的研究。 自19世紀中，由於非歐幾何的確立、分析嚴格化的要求與羅素悖論的出現，數學基礎的問題吸引許多一流數學家的眼光，當時數學／哲學家熱切地想將數學確定性的大廈奠基於某種不可懷疑的基礎上，雖然多數人都很樂觀，但是從 Hilbert 與 Ackermann 在1928年提出下列的未解問題：「一階邏輯是否完備(complete)或可決定(decidable)？」，顯示整個基礎化計畫的進度十分緩慢。 1929/30年 Godel 初試啼聲，漂亮地在他的博士論文中證明一階邏輯的完備性，給 Hilbert 的計畫打下一劑強心針，但是不久後(1931)，Godel 卻證明了他最知名的「不完備定理」：

設S為一包含算術系統的公理系統，若 S 相容（consistent，即不自我矛盾），則 S 不完備（即在 S 中有些敘述為真，卻無法由 S 的公理推導出來）。

徹底崩毀了基礎化計畫。這一前一後兩個關於完備性的定理，使數學界（尤其是 Hilbert 學派）戲劇性地經歷烈火寒冰般的巨變。Godel 也因此聲名如日中天。1933年他應邀訪美講學演說，此行他結識日後的摯友愛因斯坦。 30年代的歐洲瀰漫著法西斯的氣氛，Godel 亦師亦友的 Schlick 也因此被刺殺，這個噩耗使他陷入精神沮喪，終其一生困擾著他的研究生活。大戰前夕，他完成另一個重要的工作─證明選擇公理與連續統假設皆與ZF集合論相容。1940年他經由俄羅斯、日本到達美國，從此定居於普林斯頓。 Godel 在美國的研究重心，逐漸轉移到其他方面。由於與愛因斯坦時相往來，40年代末，Godel 致力於探討廣義相對論與時間的意義，證明循環時間與愛因斯坦方程並無矛盾（他還因此在1950年的國際數學家會議提出報告）。另外，Godel 一直從事於哲學的深度思考，專心研讀 Leibniz、康德、Husserl（胡賽爾）等的著作，留下的哲學思考筆記無數，還沒有充分地編註印行。Godel 晚年（1971年起）時常與華裔邏輯／哲學家王浩討論，並因而促成王浩撰寫《Reflection on Kurt Godel》的佳話。 Godel 個人包辦了數理邏輯幾個經典定理，並為整個領域帶來革命性的風貌，堪稱是廿世紀最偉大的數理邏輯學家。尤其是他的「不完備定理」，由於暗示了一個理性系統不可能是全知的想法，經常被引申（或過度引申）到其他領域。例如：自然是無法被人類瞭解；語言是沒有界限的；心靈無法認識自己等。非科學家最常引用的數學定理，竟然如此晦澀，也該算是廿世紀的數學奇談了。