平均值定理

哆啦ˇ

有一部車子，全電腦裝置，有里程儀 (Odometer) 與速率儀 (speedometer)，而且都是用坐標圖形來表達。假設速率儀故障，只剩里程儀。交通警察攔下這部車子，說是超速，駕駛辯稱：我沒有超速，若有的話，請警察先生拿出証據。

警察說：由你的里程儀的圖形知道 的斜率大於限速，並且 t0 時刻的切線斜率（即車子的速率）等於 的斜率，故你在 t0 時刻超速。這位警察懂得微積分，上述的論証用到了平均值定理： 平均值定理: 假設 1. f 在閉區間 [a,b] 上連續， 2. f 在開區間 (a,b) 上可微分。 則存在 使得

它的特例是 Rolle 定理，但是我們可以利用 Rolle 定理來証明平均值定理，因此，兩者等價。 Rolle 定理: 假設 1. f 在閉區間 [a,b] 上連續， 2. f 在開區間 (a,b) 上可微分， 3. f(a)=0=f(b)。 則存在 ，使得


當初 Rolle 觀察到，若多項式方程式 f(x)=0 有 a, b 兩根，即 f(a)=0=f(b)，則方程式 f'(x)=0 在 (a,b) 之中至少存在有一根 ξ，即 。這是 Rolle 定理的起源。 平均值定理有三個方向之推廣： 泰勒定理: 設 f 在 上是直到 n+1 階連續可微分的函數，且 ，則對任何 ，f(x) 可以展成下式

其中 ξ 為介於 x 與 a 之間的一個數。 註：泰勒定理是對一類相當好的函數作剖析，所得到的函數的結構定理。 Cauchy 的平均值定理: 假設 (i) f 與 g 在 [a,b] 上連續， (ii) f 與 g 在 (a,b) 上可微分， (iii) 。 則存在 使得

註：Cauchy 的平均值定理是 L'Hospital規則 的理論基礎。 推廣的平均值定理: 設 f, g, h 在 [a,b] 上連續，在 (a,b) 上可微分，則存在 使得行列式

註： (i)當 時，這個定理就化約為 Cauchy 的平均值定理。 (ii)當 且 g(x)=x 時，這個定理就化約為平均值定理。 所謂 Newton-Leibniz 公式是指： 假設 F 在 [a,b] 上一階連續可微分，則

我們可以証明平均值定理與 Newton-Leibniz 公式等價。 証明: 平均值定理 Newton-Leibniz 公式，設

是 [a,b] 的一個分割。由平均值定理知，黎曼和

取極限就得到 Newton-Leibniz 公式。 反過來，Newton-Leibniz 公式 平均值定理：由積分的平均值定理知，存在 使得

再配合 Newton-Leibniz 公式，立得平均值定理

由上述看來，平均值定理在微積分中佔有核心的地位。 平均值定理還有一層意義：將涉及無窮步驟的極限

用有限的牛頓商

來取代，具有以簡御繁的意味，但付出一點代價：我們對 ξ 的位置不太清楚。

JP花美男

這圖我好像看過耶∼∼還能夠理解