向量微積分

哆啦ˇ

微積分基本定理

可以推廣到高維的空間，其中包括了三個著名的定理，即平面上的 Green 氏定理

與空間上的 Stokes 氏定理

散度定理 (divergence theorem)

微積分基本定理中，左邊的積分是函數 f'(x) 在一度空間 R1 中的一個區間 [a,b] 上的積分，而右邊是函數 f(x) 在 [a,b] 的兩個端點 a 與 b 上的取值。Green 氏定理是上述定理在2度空間 R2 上的一種推廣。這裡 D 是 R2 的一個正則區域，v 是一個連續可微分向量場， v = P(x1,x2)e1 + Q(x1,x2)e2，而 （定義）。是 v 的某種微分， r = x1e1 + x2e2， 是 D 的有向邊界。 Green 氏定理是平面上的一個定理，而 Stokes 氏定理則把它推廣到三度空間中的二維曲面 S 上，這裡

散度定理則是三度空間中的一個定理，這裡

在向量積分中我們有以下漂亮的定理： 定理A 設 D 為 RN 中之一個開集，則對連續可微的向量場 w，存在唯一的純量場 v，使得

對所有 u 都成立。而且如果 ，則 。
定理B 設 v 是 RN 上的一個連續向量場，且對所有 D 中的曲線 ， 與路徑無關，則在 D 上存在一個連續可微分的純量場 u 使得 對所有 D 中的點 p 成立。這裡 是梯度算子， 。 以上粗略的說明中，對於函數的連續性以及集合的拓樸性質均有所忽略，讀者可參考教科書上的說明。