機率 2

哆啦ˇ

則 Y 就是個統計數據，恆非負，因此 Markov 不等式對 Y 適用！也就是說：對 k>0，（其實 k>1 才有聊！）

k\cdot A.M.(Y)\} &

但是，照定義，

而且記 , l>0，則得

l^2\cdot(S.D.(X)^2)\}

但是

l^2\cdot(S.D.(X))^2)\end{displaymath}" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img31.gif" width=237 height=28>

就等於

l \cdot S.D.(X).\end{displaymath}" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_11/img32.gif" width=200 height=28>

因此有(Chebyshev 不等式)：

l\cdot S.D.(X)\}

或

我們在這裏打住，不再講記述統計了，就轉到機率論來！ 8. 我想先把主題點出來：機率論和記述統計，幾乎完全一樣！只是一虛一實而已。 為了說明這一點，我們想像這種情形。去年我做了完整的紀錄弄成一張張卡片，到了這一年度，我決心做個不負責的老師：若你是個學生，我請你抽一張卡片，就當做你的分數。 這麼一來記述統計就成了機率論了！如果，去年有 4 個人分數不到五十分，那麼，

現在，你的分數不到五十分的機率就是 0.08，換句話說，「相對頻率」改成「機率」，用符號 P 表示：

P{X<50}=0.08

如果去年有 6 個人不及格，即 f{X<60}=0.12，則現在你不及格的機率是 0.12，即

f{X<60}=0.12

當然，現在的 X 從「統計數據」改成了「隨機變數」，隨著機會（你的運氣）而變的數；另外，「算術平均」A.M.，也改成（數學）期望值 E；如果去年全班平均為 A.M.(X)=74 分，則你（現在）的期望值就是

E(X)=74 .

換句話說，我們有個簡單的小字典來對照這兩種語言：

記敘統計學	機率論
相對頻率 f	機率 P
統計數據	隨機變數
算術平均 A.M.	期望值 E.
方差	方差
標準差 S.D.	標準差 S.D.
以下兩國語言大致相同

9. 為什麼說記述統計與機率是一實一虛呢？我造了 50 張卡片，當這是記述時，這是很真實的東西（這是我教學的成果），X 代表這 50 張，張張皆實。反過來，你要抽一張，我讓你先看過一遍，有兩張 98、一張 92，……，但，只有你抽到的那張才是真實的，所以，X 只代表那一張。在記述統計，如果 A.M.(X)=84，或者 f{X<60}=0.02（只有一人不及格），顯然我這老師教得不錯；若改成機率，則 E(X)=84，或 P{X<60}=0.02，只是你的機會不錯，期望值很高，或者，不及格的機會只有50分之一。 可是，我們已經強調過了，這機率是虛的。萬一（其實不是「萬一」，而是「五十一」），你抽到那張不及格的卡片，那麼 X<60。（例如 X=50 吧），妳的運氣不好，那麼這些期望值，或機率，都幫不了你的忙！說「我及格的機率高達 98」，或者我分數之期望值為 84 都喪失意義了。在你抽卡之前有意義，但抽了卡片，X 是多少，就多少，如果 X=50，那麼 P{X<60}=0.02 及 E(X)=84 都是自欺欺人的安慰。 10. 那麼機率的意義是什麼？當然機率很大（接近 1）很小（接近 0）有它的意義，我們也承認這可以有不同的見解。不過我認為這和「近似值」的情形一樣，對於每一個具體的情形，自然有它具體的意義。所以，我們不打算花精神來解釋「很可能」跟「很不可能」，把它們當做是不須要解釋的，就跟「近似」之不要解釋一樣。 那麼我們怎麼解釋「一事件之機率為 p」呢？我贊成 Bridgeman 的運作觀 (operationalism)，所以我找採大數法則來解釋。 （弱）大數法則：假設一事件 A 發生之機率為 p，假設我們能夠一再地重覆我們的實驗，觀察同樣的現象，每次的佈置都相同（機會相同），而且一次次之間互相沒有關聯，作了 n 次，其中有 k 次發生了這件事件；我們計算發生的相對頻率 ，那麼，在 n 趨近無限大時，這相對頻率 就趨近於 p，（說得客氣一點）「 不很小」的機會很小！ 我們先強調一下：不能重複（獨立）地作實驗的事情，講機率不太有意義！ 我再把上述的大數法則推廣一下： 定理： 假設 X1, X2,…,Xn 是隨機變數，互相獨立，而且機率分佈相同，那麼，

11. 我該說明前一敘述只是後一敘述的特殊情形！──規定 A 發生時，X=1，A 不發生時 X=0，那麼 X 是隨機變數，我們可以作出獨立，而且機會的狀態全同的 X1,X2,,一樣，P(A)=p 就是 E(Xi)=p，故前一敘述是後一敘述之特例。 應用：如果你知道 E(X)=84，較安全的辦法是請老師（我）同意：抽很多次，（雖則我規定抽出來要放回去重新抽）。用它們的平均 做為你的成績。如此可以保證這個平均會很接近 84。──不接近 84 的機會很少。

通常的大數法則，都再加上些不必要的條件，這些條件雖然不必要，但在初學時，是很有利的〔假設 〕。這證明可在拙著《普通數學》中找到，大意如下： 由於諸 Xi 互相獨立，

故

由 Chebyshev 不等式

故