亞基米德和他的時代

哆啦ˇ

亞基米德我想一定不必特別介紹。大家在中學裏都讀過他的槓桿原理，還有他的浮體原理以及眾所皆知的裸奔（「我找到了！」）。他曾發明過許多實用工具以及軍事武器；傳說當羅馬人攻城時，他曾利用拋物鏡面聚射陽光，焚毀了不少敵人的兵船。 亞基米德（公元前287∼212年）是希臘人，生長在西西里島，（當時整個意大利南部及西西里島都在希臘版圖內。他年青的時候，曾到亞歷山大城接受教育，返回故居後也經常與那裏的學者保持聯繫，亞歷山大城在埃及，是當時西方世界科學文教的中心；這裏我們順帶提一提它的輝煌的歷史。 原來亞歷山大大帝東征西伐，建立了一個龐大的帝國後，在公元前330年左右，曾經親自精心設計，要在埃及建造一個嶄新的城市，作為這個帝國的首都──就是我們的亞歷山大城。可惜不久，新城未完，大帝已經暴斃。國家經過一段時期的混亂後，分裂成三個帝國，其中埃及部分，由一位托勒密將軍接管。他繼承了亞歷山大大帝的遺志，大力延攬世界各地學者，來到亞歷山大城，由政府金錢支助，讓他們作自由研究。這大概是世界上最早的國科會吧。托勒密王在公元前290年建造了一所研究中心，定名為 Museum（Muse 是希臘神話中司掌文學、科學、藝術等的九位女神之一；現今博物館都叫 museum，由來即在此）。另外他還建立了一個圖書館，據說擁書七十五萬之多，一時也成為世界抄書事業的中心。（請記得當時還沒有印刷術）果然不出多少年，亞歷山大城已成為西方世界文化、商業的中心了。社會的繁榮，科技的進步，自不在話下，例如當時己有蒸汽車，計程表，有水力操作的大型樂器，有用壓縮空氣操作的大砲，廟裏還有嚇唬人的神像，利用熱空氣揮舞四肢。 以後羅馬人興起，首先征服了意大利及西西里島；亞基米德就是死在羅馬士兵手中。再以後的歷史，我們也得簡單地一提，因為它與我們下面要說的故事也很有關係。羅馬人在公元前146年征服了希臘本土。托勒密王朝的末代皇帝，就是著名的「埃及艷后」克利奧派屈拉，她死在公元前31年。早先在公元前47年時，凱撒大帝曾經放火燒光了亞歷山大城港外的埃及海軍，大火延至城內，亞歷山大圖書館藏書幾乎全被燒光。 羅馬帝國以後又分為東西兩帝國。東羅馬帝國包括了希臘、埃及、中東及現今的土耳其。其間基督徒的興起，對早期科學有非常破壞性的影響。他們排斥多神的希臘異教，因此焚書坑儒，極力摧毀希臘文化。據記載公元392年羅馬皇明令禁止異教活動的一年，埃及一所大廟裏就有三十萬希臘書籍被焚。（這些書是當時亞歷山大圖書館收藏不下才被移來的）當時凡是記載在牛皮羊皮上的希臘文書，統統要被充公，洗去上面的文字，另抄基督徒的經典。光輝的希臘文化，從此便一蹶不振沒落至今。七世紀左右，埃及被回教徒征服，亞歷山大城中尚存的一些希臘文書，又遭受了一次火禮，許多學者都逃到康士坦丁堡（東羅馬帝國的首都，即今土耳其的伊斯坦堡）。康士坦丁堡一直拖到十七世紀左右，才被土耳其人消滅。 現在我們再回過頭來談談亞基米德。亞基米德被很多人認為有史以來三大數學家之一（其他兩人是牛頓和高斯），他曾找出許多物體的面積、體積。他用的證明方法，叫做「窮盡法」(method of exhaustion)；這個方法在歐幾里得（或更早）便曾被用過，它跟現在我們積分的定義並沒有什麼差別。例如說, 圓的面積，可以由內接多邊形及外切多邊形的面積來迫近。因此積分的觀念，早在公元前便已經有了。 我們現在讀微積分，大多是從微分開始，然後再讀到積分，這顯然不是歷史的順序：微分要到十七世紀才由牛頓，萊布尼茲等人創出。為什麼微分、積分的觀念要相差幾乎兩千年之久，可能也很自然。由於實用的緣故，人們很自然的會考慮到面積體積問題；但是速度的變化率，曲線在某點的斜率等等，顯然沒有這麼迫切的需要。 我們現在求積分，通常都會覺得還很容易（除了那些考試時才碰到的問題外）。這是因為我們知道了微分的技巧以及微分及積分之間的關係─所謂 "Fundamental theorem of calculus"。換句話說，我們求積分時，幾乎從來沒有要按照積分的定義來求取答案的。希臘人可不同了。再加他們還沒有極限的具體觀念，更不能談無窮級數的和，因此每一個問題的解答，都需要相當程度的智巧。他們證明一個物體的面積是 A 時，先假設它大於 A，再用「窮盡法」中的迫近方法，在有限步驟內得到一個矛盾，同理他們又證明這個面積也不能小於 A。這個描述似乎有些含糊，讀者耍知道詳細的情形，可以參見參考資料3。這裏要請注意的是，他們必須先認定這個面積是 A，然後再證明非它不可。 後人讀到亞基米德在面積、體積方面的許多工作，常常驚異於他證明的嚴密（遠超過牛頓時代的標準），以及他的直觀先見。尤其是後者；例如他怎樣想到這些物體的面積該是什麼呢？是不是他還有其他方法，能夠事先看出這些結果來，換句話說，他是否另有秘法？

二十世紀的發現

果然，亞基米德另有秘密。不過這裏所說的秘密，並不是他故意隱而不宣的秘訣，而是由於後來政治．宗教等等因素所造成的。這個秘密，直到二十世紀初才被揭開！ 話說1906年，伊斯坦堡一所圖書館內，發現一套記錄在皮料上的古經，除了上面的文字外，下面還隱隱出現另一層希臘古文。顯然原來的文字被用一種油料洗刷過，再在上面重寫新的，這層油經過長久的時間，已經漸漸消失，使得原來的文字又重現出來。原文中有幾何圖形，顯然是數學著作。於是他們便請了當時權威的荷蘭語文學家海伯 (Heiberg) 前來驗認。海伯花了相當的時間，恢復了原文，並且幾乎全部釋譯了出來。這是數學歷史研究上，一個偉大的發現。 原來亞基米德畢生著作，據記載共有十餘種，其中少數由於第一節裏所說的原因，早已經失傳了。這次海伯所釋譯的，發現就是亞基米德的幾部著作；而且更令人驚喜的，是因為其中一部，叫做《方法》(The Method)，就是他久已失傳的作品！這本「方法」，是用亞基米德致友人書的形式寫成的，內容是解釋他如何利用力學的方法，得到許多物體的面積、體積。這裏所謂的力學方法，就是他自己出名的槓桿原理！亞基米德認為他的力學方法，似乎不夠「嚴密」，因此他用此法得到了這些結果後，另外又用了嚴密的「窮盡法」再作證明。其實照我們現在看來，他的力學力法，不但新奇驚人，而且也絲毫無不嚴密之處（這是我們更清晰的瞭解了積分的定義的緣故）。 現在我們開始討論數學。讓我們來看看亞基米德如何利用槓桿原理，得到球體體積的公式。

槓桿原理與球體公式

我們要證明，一個半徑為 r 的球，體積是 。 現在請看圖 1-a，其中的圓，半徑為 r，PABM 是一個邊長為 2r 的正方形。現在我們想像這個圖形繞軸 AB 旋轉一週。這時圖中的圓，繞出一個球來，三角形 AMN 則繞出一個圓錐體，而長方形 PMNQ 則繞出一個圓桶來。 我們看看任意一根與 AB 垂直的直線 XY。它與上半圓的交點是 G，與 AM 的交點是 F。設 , , 。請注意 FZ 也等於 a。當 XY 繞 AB 轉一週時，GZ,FZ,XZ 分別繞出上述三立體（球，錐，桶）的「基本圓片」來。這裏所謂「基本圓片」的意思，就是說，當 XYPQ 移動至 MN 時，這些「基本圓片」，分別依次疊合成上述三個立體。 我們知道 b2 = ac,（為什麼？）所以

a2+b2=a(a+c)=2ra,

因此

這個式子說什麼？考慮一個槓桿 UV，其支點為 O， 上式說，如果我們在 U 點掛上兩個圓片，半徑為 a 和 b，另外在 W 點，（ ），掛上一個半徑為 2r 的圓片，則它們的「重量」正好平衡，也就是說，槓桿不動。 現在我們想像 XY 由 PQ 逐漸移動至 MN。按照上面所說的平衡掛法，半徑為 及 的圓片，一片片地被掛在 U 點，這些不同「重量」的圓片，分別組合成圖1-b中的球和錐，掛在同一點 U 處；同時那些將半徑均為 2r 的圓片，一片片地被掛在不同的 W 點下。隨著 XY 的移動，W 點由 O 移至 V。因此我們有同「重量」的圓片，平均地掛在 OV 下。根據基本力學知識，這就相當於將全部重量，掛在 OV 的中點 C 處。這全部的「重量」，就是我們圖1-b中的圓桶。 從圖1-b的「平衡圖」來看，我們馬上根據槓桿原理，得到

但是，錐 ．桶（為什麼？請做習題 1），所以 2r．球 ．桶。因為桶的體積是底乘高，於是

這個方法是不是很奇妙？你看懂了這個證明後，一定也能做習題 2。槓桿原理的應用，並不祇限於旋轉體的體積，讀者可看 3 書中一個求面積的例子。 習題 1. 證明：錐 = ．桶。你可以用 4 文中所謂的「胖子原理」，比較一個錐和那裏所謂的陽馬。
習題 2. 圖2中的拋物線，如繞 ab 軸旋轉一週，其所得旋轉體的體積為

試用槓桿原理證明之。