數學的崩塌與重建

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20世紀初，集合論出現了很難解決的「悖理」(paradox)。其中一個是1902年由羅素（Bertrand Russell，圖一）所提出的，我們可以在這裡覆述：如上面整數的定義，集合的元素可以也是集合，有些集合可以以其本身為元素，例如:如果以所有集合為元素所成的集合 U，便符合 的條件。但一般的集合，例如：中央大學的所有同學的集合 V，便不是它本身的元素 ()。現在我們用 A 表示所有不以本身為元素的集合所成的集合，即若 ，則 x 是一個集合，且 ，現在我們問 是否成立。若 ，是 A 具有 A 的元素的性質，即 了。這是矛盾；反之，若 ，則 A 不具有 A 的元素的性質。這便是說 不成立，這也是矛盾。但 和 二者之一必成立，所以矛盾是躲不掉的，這樣就形成了「悖理」。



圖一：羅素提出的悖理，使數學面臨崩塌的危機

這樣的悖理造成數學界的大地震，因為整個數學的建構是以集合論為基礎的。所以數學需要重建，第一步便是重建集合論，這就是20世紀前半很多數學家和數理哲學家所做的工作。基本上，問題出在 Cantor 給集合所下的定義不夠嚴謹，我們必須重新出發，把集合與整數等觀念看成紙上的符號，再說明哪些符號串有意義，在有意義的符號串上允許哪些變換等等。這樣便可以把上述各種悖理的問題同時解決。這種討論非常專門，參考資料[1]和[2]有較完善的說明，有興趣的讀者不妨一讀。