韓信點兵 2
例4： 「物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二」可用同餘式表示如下。http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img8.gif 「韓信點兵問題」就是求一組同餘式的公解。「http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img9.gif」與等式「＝」有同樣的運算法則，那就是說： 定理1：已知 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img10.gif， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img11.gif，那麼， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img12.gif， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img13.gif， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img14.gif， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img15.gif， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img16.gif。
證明：我們先證 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img13.gif，讀者可以仿照我們的證法，去證明其餘公式。 根據「http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img9.gif」的定義，我們知道 a-b = sm，c-d = tm 所以
(a+c) - (b+d) = (a-b)+(c-d) = sm+tm = (s+t)m
那就是說， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img13.gif 證完。 在推演孫子定理（中國剩餘定理）的過程中，我們須要一個應用兩數互質（兩數的最大公約數是1）的定理，那就是： 定理2：已知 m,n 適合下式， am+bn=1，那麼 m,n 互質，反過來說，如果 m,n 互質，我們可以找到 a,b，使得
am+bn=1
證明：因為 m,n 的最大公約數可以整除 am+bn，而 am+bn=1，所以 m,n 的最大公約數是1，換句話， m,n 互質。反過來說，如果己知 m,n 互質，讀者可以應用輾轉相除法，求得 a,b 使得 am+bn=1，證完。 應用定理2，我們可以解答漂母數布匹的問題了，那就是下面的定理3: 定理3：己知 m,n 互質，那麼下列一組同餘式：
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有公解。
證明：根據定理2，我們可以找到 a,b 使得 am+bn=1，所以 bn=1-am，那麼 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img18.gif， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img19.gif，換句話，bn 是我們所求的一組公解，證完。
系1：己知 m1 與 m2，m1 與 m3，… m1 與 mt 都互質，那麼下列一組同餘式
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有公解。
證明：根據已知條件，我們推論 m1 與 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img21.gif 互質。在應用定理3，我們知道
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有公解。顯然上面那組同餘式的公解就是
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img20.gif
的公解，證完。 定理4：己知 m1,m2,…,mt 兩兩互質，並且求出 a1 是 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img23.gif， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img24.gif，…， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img25.gif 的一個公解，a2 是 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img26.gif， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img27.gif， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img28.gif，…， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img25.gif 的一個公解，以此類推，求出 a3,…,at。那 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img29.gif 就是下列一組同餘式
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的一個公解。 證明：我們先證明 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img31.gif，讀者可以仿照我們的證法，去證明其餘同餘式。 根據己知條件，我們知道 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img32.gif， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img33.gif， …， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img34.gif，應用定理1，我們得出 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img35.gif，並且已知 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img36.gif，所以應用定理1，我們得出 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img37.gif，再應用一次定理1，我們證明
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證完。 上面的定理4事實上就是孫子算經裡的解法。 a1, a2,…,at 也就是孫子算經裡面提到的「用數」。定理4再加上下面的定理5就合成了數論中的孫子定理。 定理5：己知 m1,m2,…,mt 兩兩互質。並且求出 a,b 是下列一組同餘式
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的兩個公解。那麼 a-b 一定是 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img39.gif 的倍數。反過來說， http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_01_01_2/img40.gif 例如定理3可以改寫成： 定理3：已知 m(x), n(x) 互質，那麼下列一組同餘式，
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有公解。 在許多抽象數學的領域中，也有孫子定理。不過，因為牽涉的入門知識太多，這兒也就一言表過不提了。 關於孫子定理，現代數學家已有廣泛透徹的研究。讀者如果有興趣，可以參看一點數論及近代代數的書籍。這篇淺文的主要目的，也就是引起讀者對數學的興趣而已。 謝很大... 謝不用錢
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