條目 : e
e 的發現始於微分，當 h 逐漸接近零時，計算 http://episte.math.ntu.edu.tw/entries/en_e/img1.gif 之值，其結果無限接近一定值 2.71828...，這個定值就是 e，最早發現此值的人是瑞士著名數學家歐拉，他以自己姓名的字頭小寫 e 來命名此無理數。 計算對數函數 http://episte.math.ntu.edu.tw/entries/en_e/img2.gif 的導數，得 http://episte.math.ntu.edu.tw/entries/en_e/img3.gif，當 a=e 時，http://episte.math.ntu.edu.tw/entries/en_e/img4.gif 的導數為 http://episte.math.ntu.edu.tw/entries/en_e/img5.gif，因而有理由使用以 e 為底的對數，這叫作自然對數。 若將指數函數 ex 作泰勒展開，則得http://episte.math.ntu.edu.tw/entries/en_e/img6.gif
以 x=1 代入上式得
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此級數收斂迅速，e 近似到小數點後 40 位的數值是
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將指數函數 ex 擴大它的定義域到複數 z=x+yi 時，由
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透過這個級數的計算，可得
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由此，De Moivre 定理，三角函數的和差角公式等等都可以輕易地導出。譬如說，z1=x1+y1i, z2=x2+y2i，
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另方面，
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所以，
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我們不僅可以證明 e 是無理數，而且它還是個超越數，即它不是任何一個整係數多項式的根，這個結果是 Hermite 在1873年得到的。
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