質數 2

哆啦ˇ

我們可以證明，不可能有一條多項式函數 f(x)，它的函數值都是質數的，即是若 , 係數皆是整數。令 x=b，不可能所有整數 b，都令 f(a) 常為一質數。 證明的方法根據另一定理： 若 , 是一整係數多項式，如果

則

因此，令 p=f(a)>2，（即 p 是多項式 f 之一值）設正整數值 J，能使

f(a+Jp) > n

但

故使

但

即 p 能整除 f(a)，因此整除 f(a+Jp)。 這就是說，不管是什麼次數的多項式，一定周期後必然會有一個合成數出現，因而有無限個合成數。 新的難題卻是，有了無限個合成數，那麼質數是否亦屬無限呢？以多項式形式出現的質數是否無限，仍屬未解難題。 我們並且知道，設 f 和 g 都是多項式，則 亦不可能對所有 n 都給出一個新質數出來。 參考 M. Davis 〈Hilbert 10th problem is unsolvable〉AMM(1973)233-269。 目前所知最大的算術級數之質數公式，是

（見 Edgar Karst〈12 to 16 primes in arithmatic progression〉, Journal of Recreation Mathematics, (1969) 二次多項的質數公式有下列的表算。

質數公式表

f(x)公式	在100以下令f(x)成合成數的x值	總數
x2-79x+1601	80, 81, 84, 89, 96	5
x2+x+41	40,41,44,49, 56, 65, 76,81,82,84,87,89,91,96	14
2x2+29	29, 30, 32, 35, 39,44, 50, 57, 58, 61,63, 65,	25
	72,74,76, 84,87, 88, 89,91,92,94,95, 97, 99
6x2+6x+31	29, 30, 31, 34, 36,41,44, 51, 55, 59, 61, 62,	25
	64,66, 69,76,80, 84, 86. 87, 88, 92, 93, 97, 99
3x2+3x+23	22,23,27, 30, 38,43, 44,45,46,49, 51, 55, 56, 59,	28
	62,66,68, 69,70,78, 85, 87, 88, 89, 91,92,95,96

像質數公式 x2+x+41，我們能找到連續 40 個（由 0 到 39）的質數究竟還有無同樣類似公式的可能呢？即是： 問題：有沒有一條質數公式 f=x2+x+b，能使 (b-1) 個連續 x 值使 f(x) 都是質數呢？有人曾用電算機去找，結果查出如果有，則 b 值一定要超過 1,250,000,000，而且最多只有一個。看來這個問題大概解不了。

「多項式」這一類函數，既然無法辦得到所有函數值都是質數，那麼只有轉求到其他類型的函數了。 指數類型函數 讓我們來研究一下指數類的函數 吧。 例如函數

那麼

此外，我們還有 f(4)=5,f(5)=7,f(6)=11,f(7)=17
但

都不是質數，而且下一個質數要到

直到今日，還沒有人能證明，像 公式不可能永遠給我們一個新質數的，但也不知道這類公式可以無限地供應質數，換句話說，每一個由這類公式得出來的函數值，還要仔細計算查證，才能肯定是否質數。
令人驚喜的是，果有一條類似的定理，是 W.H. Mills 證明的。 [質數函數定理]：
我們可以找到一個實數 θ，使函數 的值對所有 n=1,2, … 都是質數。 這條定理在《數論導引》有證明，主要的根據是另一條頗深的定理，在 n 和 2n 之間必有一個質數存在，（Bertrand 臆測）這裡我們引出的定理，則是根據 Riemann 一函數來證明的。 定理：在 n3 和 (n+1)3-1 之間，必有一個質數存在，（n>A，任何整數） 然後依此定理我們可以定義出一列質數，用此來決定 θ 之值。因為每一個 n 一定有一個對應的質數，我們可以令 p1>A，質數 pn，對 n=1,2,。令 pn+1 是這樣的質數使 pn3 < pn+1 < (pn+1)3-n-1 再造出二個數列， un=pn3-n， vn=(pn+1)3-n。 但

(p_n^3)^{3^{-(n+1)'}}\\&#10;&=&p_n...&#10;...nus0.1pt{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 127}})&#10;\end{eqnarray*}" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/img46.gif" width=279 height=139>

於是

un 是遞增數列，vn 是遞減數列。故應有一個極限， 即是 （任何 n）

因而 ，是一個質數了。（ 仍表最大整數函數）
可是，這條定理，一如像 公式，無甚用處。上面證明中顯出，對θ的知識和對所有質數的知識基本上是相等。如果我們不認得隨意大的質數，那麼別談構成θ了；但若我們認得隨意大的質數，我們不需要這條公式了。就是說，這條定理不會告訴我們新的質數。若要這條定理有用處，一定要不用質數便可以找到的值，但看起不像有此可能。 同樣的，我們可以這樣結構θ，來定出pn質數 。若pn代表第n個質數，使

則

(Moser(1950),Sierpinski(1952),H&auml;rtter(1961))這亦是一條用公式寫出所有「已知」的質數之方法。正如我們在以前指出，這個公式僅是可玩而已， (聰明人說他可以做任何事的詭辯也)，對找新質數並無用處。相信類似的質數公式還有很多。例如根據Bertrand的猜測，當n大過2以後，在n和2n之間，一定有一個質數。因此可證一質數代表定理：

可以找到一個實數θ，使, , 皆為質數。