瓦里斯公式及其相關的結果

哆啦ˇ

從問題出發，經過探尋，得到發現或猜測，最後再提出證明，有這整個過程，求知活動才算完全。

歐幾里得《幾何原本》第一卷的公理3是說：

以任意點與距離可以描繪一個圓。
(To describe a circle with any center and distance.)

點與距離分別就是圓心與半徑，參見圖一。古希臘人認為圓是最美麗的平面圖形。它有兩個重要的幾何量：圓周的長與圓的面積。探求它們，就形成了早期數學的發源地之一。為了求算圓的面積，瓦里斯（J. Wallis, 1616∼1703）利用直觀的類推、歸納、推廣、試誤、插值等方法，在1665年發現了今日所謂的瓦里斯公式：

請見參考資料1《瓦理斯尋 π 的發現理路》。 本文我們要來證明瓦里斯公式。有了發現過程，要證明就差不多是順理成章的事情。我們順便要介紹瓦里斯公式周邊一些有趣結果，這些都是屬於古典分析學裡晶瑩亮麗的小珍珠。

[size=-1]圖1

瓦里斯公式的證明

最常見的證明方法是由積分 切入。為什麼要這樣做呢？根源還是來自於瓦里斯的探尋過程。 為了求 ，瓦里斯考慮廣泛的幾種積分： (i) (ii) (iii) 利用列表，找規律以及插值法，並且對於積分

猜得漸降式

最後才推出瓦里斯公式(1)，請見參考資料1。 這是瓦里斯在微分法及積分技巧還未出現以前所做的工作。有了微積分之後，直接由(2)式出發，利用積分技巧（分部積分與變數變換），就可以嚴格地推導出瓦里斯公式。 (i)分部積分法

於是得到遞迴公式：

反覆利用(3)式，並且配合 ,I0=1，得到

一般而言，我們有

因為當 0<x<1 時，0<1-x2<1，所以 (In) 為遞減數列，於是

I2n<I2n-1<I2n-2

亦即

整理化簡得

因為 對 n 是遞增的，由實數系完備性知，極限 存在。又因為當 ，(4)式兩端的極限值相等，故由夾擠原則就得證 定理1：（Wallis 公式，1655年）

(ii)變數變換法在(2)式中，令 ，則 ，所以

再利用分部積分法，仍得到(3)式。仿上述辦法，就得證瓦里斯公式。
這就是通常微積分教科書從 出發，以證明瓦里斯公式的緣由。為什麼不考慮 呢？
考慮積分

是否也可以得到美妙的公式？
由分部積分法，得到

故

這是一個遞迴公式，再配合初期值

以及

我們可以求得 Tn 之值：

一般而言，我們有

因為當 時， ，故 (Tn) 為一個遞減數列並有下界。由實數的完備性知，極限 存在。對(6)式取極限得 ，於是 ，亦即

註：我們也可以利用估計式 , 作積分，再配合夾擠原理，得證(9)式。
由(7)、(8)、(9)式，得到 定理2

我們注意到：格利格瑞（Gregory）在1668年由 的級數展開

代入x=1，也得到(10)式。另外，萊布尼慈（Leibniz）在1674年利用他的「積分變形定理」（Transmutation Theorem），算得(10)式時。因此，(10)式又叫做 Gregory-Leibniz 公式。當萊布尼慈求得(10)式時，他高興地說：「上帝喜悅奇數！」 (Good delighted in odd numbers!) 用奇數經過無窮步驟就可以組合出 π，這實在美妙。

goddameit

你 看 的 懂 證 明 嗎