點有多大

哆啦ˇ

這是一個平凡的問題，但是極具深度且源遠流長，它從古希臘開始就涉及了「有窮」與「無窮」的論爭。本文我們嘗試由「點有多大？」的觀點切入，循著「無窮」的腳步，走一趟數學之旅，作一個簡要的歷史回顧。 空間或幾何圖形，都是由「點」所組成的。因此，欲透過點的性質來掌握圖形的性質，乃是順理成章的一件事。 我們很自然要問：點有沒有長度？ 在約兩千五百年的漫長歲月中，數學家提出了各種答案，從畢氏學派的「點有一定的大小，長度不為 0」，到歐幾里得的「點只占有位置，而沒有長度」，再到牛頓與萊布尼慈的「無窮小」解釋，這些答案跟歐氏幾何、解析幾何、微積分、集合論以及測度論的發展，具有密切的關聯。 離散的或連續的？ 大自然的結構與組成要素，其生成、變化與運動之道，自古以來就是哲學家與科學家熱烈討論的主題。由此產生了下面三個萬古常新的問題： (i)物質的結構問題 (the structure of matter); (ii)物體的變化與運動問題 (the problem of change and motion); (iii)科學知識的結構與成長問題 (the problem of structure and growth of scientific knowledge)。 對於物質的結構問題，讓我們作個想像的實驗 (thought experiment)：如果將一塊泥土不斷地分割下去，最後會得到什麼呢？ 這可以分成以下的離散 (discrete) 與連續 (continuous) 兩派來解釋。

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離散派： 這一派又叫做原子論派 (atomism)，主張：分割物質，在很大的「有窮步驟」之內就會抵達「不可分割」的境地，叫做「原子」(atom)；萬物都是原子組成的。原子不生不滅，其不同的排列組合，導致了大自然的生成與變化之道。 離散派或有窮派最主要的代表人物，是畢達哥拉斯（Pythagoras，約西元前585∼500）、留基波斯（Leucippus，約西元前460∼390）與德謨克列特斯（Democritus，約西元前460∼370）等人。

連續派： 這一派主張：物質是連續的，可以作「無窮步驟」的分割，沒完沒了。但是，分割到最後會剩下什麼，卻陷入困局。如果回答說是「空無」(nothing)，那麼物質是由空無組成的，這種「無中生有」(something out of nothing) 是不可思議之事。如果回答說是「無窮小」(infinitesimal)，那麼什麼是無窮小？這更令人困惑。 我們舉幾個連續派的例子。在春秋戰國末期，公孫龍（約西元前325∼250）說： 一尺之棰，日取其半，萬世不竭。 古希臘哲學家安那薩哥拉斯（Anaxagoras，西元前500∼428）說： 在小當中沒有最小，因為小中恆有更小。 (In the small there is no smallest, there is always a smaller.) 這跟老子所說的「至大無外，至小無內」有異曲同工之妙。再如，英國諷刺小說家斯威夫特（Swift，1667∼1745，即《Gulliver 遊記》的作者）也說： 在一隻跳蚤身上有一隻更小的跳蚤在吸吮，在更小的跳蚤身上又有一隻更小更小的跳蚤在吸吮；如此繼續下去，永世不竭。 上述例子，都是連續派或無窮派的最佳寫照。

點」(point)是幾何圖形的最基本要素，相當於幾何學的「原子」。當我們剖析幾何圖形的組成時，得到體、面、線，最後是點。反過來說，動點成線，動線成面，動面成體。前者是「分析」(Analysis)，後者是「綜合」(Synthesis)。 既然線段是由點組成的，於是自然產生下面三個基本問題： 問題1：點有多大？ 問題2：如何由點的長度，累積成線段的長度？ 問題3：線段含有多少點？ 這三個問題都很有深度，追究起來又會遇到兩個相關的問題： 線段是離散的或連續的？ 線段是有窮可分的 (finitely divisible) 或無窮可分的 (infinitely divisible)？ 從而，又分成離散派與連續派。離散派主張：點雖然很小很小，但有一定的長度，像小珠子一樣，線段是由這些小珠點連起來的。連續派則主張：點的長度為 0，線段是連續的、無窮可分的。這就涉及深奧的無窮與連續統之謎 (the enigma of infinity and continuum)，經常伴隨著詭論之出現，例如著名的季諾詭論 (Zeno's paradoxes)。 長久以來，這兩派思想的論爭，對於促進數學、物理學、哲學的進展，一直扮演著主導的角色。連續派富於想像，離散派注重實際。數學史家倍爾 (E.T. Bell, 1883∼1960) 說得好：

整個數學史，可以看作是離散與連續這兩個概念的論爭史。這個論爭可能只是早期希臘哲學上著名的「一與多」（亦即「變」與「不變」）論爭的餘波蕩漾。然而，把它們看作是「你存我亡或我存你亡」式的論爭並不恰當，至少在數學裡，離散與連續經常是相輔相成地促成了進步。