集合論與數學教育

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把數學建立於集合論上

數學系統原本非常複雜，19世紀的一大成就，就是把這個數學系統簡約了。數學討論的對象本來是「數」和「形」。「形」是幾何學討論的範圍，但是幾何可以座標化，例如：在平面幾何中，如果我們把以 (x,y) 為座標的點直接看成實數對 (x,y)，我們便可以省掉「形」的觀念，而直接以實數來討論它了。至於實數，Dedekind 和 Cantor 在19世紀中葉各引入一套實數的理論，以有理數為素材把實數建構出來，有理數 可以想成整數對 (m,n)，其中 ；若 (m',n') 為另一個這種整數對，則當 mn'=m'n 時，我們把 和 看成等同，這樣我們便可以用整數為素材把有理數建構出來了，至於整數，也可以用類似的方法從正整數建構出來。如此我們可以把整個數學建立在正整數上。 在19世紀中葉，Cantor 創立了集合論。根據他的說法，當我們把一些清晰可分的，客觀世界中或我們思想中的事物，看成一體時，這整體便稱之為「集合」，其中的事物稱為它的「元素」。若 x 是集合 A 的元素，我們便用符號 表示；若 x 不是集合 A 的元素。則以 表示；而不包含任何元素的集合叫「空集合」。通常用符號 表示它，空集合和數系中的 0 相當。由元素 a,b,c 為元素的集合，可以用符號 {a,b,c} 表示。有了這些準備以後，我們就可以把正整數的系統建立在集合論上，方法是：, 1={0}, 2={0,1}, 3={0,1,2}，如此整個數學便可以建立在集合論上了。